Texte mathématique de Shaduppum

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Une impression 3D de l'histoire ancienne : l'un des textes mathématiques les plus célèbres de Mésopotamie

Bien qu'assez petite, la tablette de YBC 7289 contient l'un des textes mathématiques les plus célèbres de l'ancienne Mésopotamie, une civilisation qui a prospéré entre le quatrième millénaire avant notre ère et le début du premier millénaire de notre ère, dans ce qui est aujourd'hui la République d'Irak. La tablette originale est conservée dans la Yale Babylonian Collection de l'Université de Yale à New Haven, Connecticut, États-Unis. Il vient très probablement du sud de l'Irak, mais sa provenance exacte est inconnue. Elle peut être datée du 19 e ou du 18 e siècle avant notre ère. La tablette a été scannée et numérisée (Figure 1) à l'Institut de Yale pour la préservation du patrimoine culturel.

Figure 1 : image de l'original YBC 7289 Tablette babylonienne numérisée dans un dôme d'imagerie par transformation par réflectance (RTI)

La tablette a une forme ronde typique des textes écrits par des étudiants babyloniens qui ont appris à écrire et à calculer en cunéiforme, l'écriture utilisée par les scribes et les érudits mésopotamiens. Les tablettes ainsi formées étaient connues en babylonien sous le nom de imšukkum, c'est-à-dire « tablette à main », car elles tiennent confortablement dans la paume de l'élève.

La tablette montre un carré avec les deux diagonales dessinées (Figure 2). Un signe numérique en haut à gauche indique que les côtés du carré ont chacun 30 unités de long. Le long de la diagonale, on trouve les chiffres 1,24,51,10 et 42,25,35, tous deux écrits, conformément aux conventions du système sexagésimal babylonien, en base 60. Le second de ces chiffres indique la longueur du diagonale, il peut être lu comme 42 × 1 + 25 × 1/60 + 35 × 1/3600, ou 42,426389. Le premier nombre, converti en nombre décimal, donne 1,414212963, ce qui est très proche de √2, soit 1,414213562. Apparemment, l'étudiant, pour connaître la longueur de la diagonale d'un carré dont les côtés avaient chacun 30 unités de long, avait calculé 30 × [124,51,10], ce qui donne 4225,35.

Figure 2 : Dessin explicatif de YCB 7289

La tablette prouve que les Babyloniens du début du deuxième millénaire avant notre ère savaient que le rapport entre le côté et la diagonale d'un carré est de 1 à la racine carrée de 2. Ils en étaient venus à cette idée bien avant le philosophe grec Pythagore, qui a probablement vécu dans le sixième siècle avant notre ère, a établi son célèbre théorème une 2 + b 2 = c 2 , qui est derrière leur solution. La tablette démontre, en outre, que les mathématiciens de l'ère babylonienne ancienne avaient trouvé une approximation remarquablement bonne de 2 : 124,51,10. L'étudiant qui a écrit la tablette semble avoir pris ce nombre dans une liste de coefficients (une telle liste est également conservée dans la Yale Babylonian Collection).

Les lettrés de l'ancienne Mésopotamie excellait dans de nombreuses disciplines savantes, dont la médecine et la lexicographie. Mais leurs connaissances mathématiques étaient particulièrement sophistiquées et avancées, et étaient antérieures de plusieurs siècles à des réalisations comparables chez les Grecs.

L'impression 3D a été produite à partir de données obtenues à Yale IPCH dans le Projet d'imagerie numérique de la collection babylonienne de Yale, s'appuyant sur l'objet de 45 000 ans, âgé de 107 ans Collection babylonienne de Yale comme l'une des plus importantes collections de tablettes mésopotamiennes et d'autres artefacts de l'hémisphère occidental. Les principaux objectifs du projet étaient de produire du matériel de haute qualité pour adoption dans la recherche universitaire et l'éducation ainsi que de formuler et de perfectionner les techniques d'acquisition et de gestion des données.

Les méthodes de numérisation adoptées dans ce projet comprenaient l'imagerie par transformation de réflectance (RTI), le balayage laser 3D, l'imagerie multispectrale (MSI) et la photographie haute résolution. Les produits finaux de ces acquisitions numériques comprennent des visualisations interactives, des modèles 3D et des images de haute qualité.

Nous espérons que ce projet collaboratif servira à augmenter l'accès, unira les métadonnées existantes avec les nouvelles visualisations et favorisera l'expansion des méthodologies de recherche dans les projets de numérisation cunéiforme à Yale et au-delà.


Texte mathématique de Shaduppum - Histoire

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    Description générale. Nous explorerons quelques thèmes majeurs en mathématiques - calcul, nombre, géométrie, algèbre, infini, formalisme - et leur développement historique dans diverses civilisations, allant de l'antiquité de la Babylonie et de l'Égypte à la Grèce classique, le Moyen et l'Extrême-Orient, et vers l'Europe moderne. Nous verrons comment les civilisations antérieures ont influencé ou n'ont pas réussi à influencer les civilisations ultérieures et comment les concepts ont évolué dans ces diverses civilisations.

Les premières civilisations n'ont laissé que des preuves archéologiques et historiques limitées qui nécessitent une interprétation substantielle. Nous avons de nombreux traités mathématiques des civilisations ultérieures, mais ceux-ci sont généralement sous une forme complète qui omet le développement des concepts et des objectifs pour lesquels les mathématiques ont été développées. Ainsi, nous devrons analyser les arguments donnés par les historiens des mathématiques pour leur objectivité et leur exhaustivité.

    Explore les principaux thèmes & mdashcalcul, nombre, géométrie, algèbre, infini & mdashand leur développement historique dans des civilisations allant de l'antiquité de la Babylonie et de l'Egypte à la Grèce classique, le Moyen et l'Extrême-Orient puis l'Europe moderne. Analyse la tension entre les applications des mathématiques et la tendance au formalisme. Met l'accent sur les présentations et les discussions. Remplit la perspective historique.
  • Objectifs de contenu :
    • suivre le développement des mathématiques depuis les premiers systèmes de nombres jusqu'à l'invention du calcul
    • lire et comprendre quelques mathématiques historiques
    • étudier le développement et l'utilisation de méthodes de calcul, dont certaines font appel à des outils tels que l'abaque
    • étudier les mathématiques de différentes civilisations, leur conception et leur utilisation des mathématiques, et comment les conditions historiques de ces civilisations ont affecté et ont été affectées par les mathématiques
    • développer votre capacité à comprendre le monde contemporain dans le cadre plus large de la tradition et de l'histoire
    • se concentrer sur les problèmes d'interprétation du passé et peut également traiter de la relation entre le passé et le présent
    • initier les étudiants à la façon dont les universitaires pensent de manière critique au passé, au présent et à l'avenir
    • Développez votre capacité à présenter les mathématiques et l'histoire sous forme orale et écrite
    • Vous aider à mettre en pratique vos compétences de recherche
    • Satisfaire, en partie, votre curiosité de savoir comment les mathématiques se sont développées et comment elles s'intègrent dans la culture
      Lorsque vous aurez terminé ce cours, vous devriez être capable de :
  • décrire le développement de divers domaines des mathématiques au sein et à travers diverses civilisations
  • décrire le caractère changeant des mathématiques au fil du temps et reconnaître la distinction entre les mathématiques formelles et intuitives
  • donner des exemples d'applications significatives des mathématiques au commerce, à la science et à la vie en général, passées et présentes
  • comprendre que l'histoire inclut l'interprétation du passé, pas seulement des faits
  • mieux rechercher des questions historiques et présenter vos conclusions aux autres
  • Les chapitres renvoient à notre manuel.

    • Chapitre 1 : Égypte et Mésopotamie
      • Egypte : système de numération, multiplication et division, fractions unitaires, l'égyptien 2/m table, équations linéaires et méthode de fausse position, géométrie.
      • Mésopotamie : système sexagésimal (base 60) et notation cunéiforme, arithmétique, table de multiplication babylonienne, table réciproque babylonienne, géométrie élémentaire, théorème de Pythagore, tablette de Plimpton 322, racines carrées, équations quadratiques, jetons de la Mésopotamie prélittérée.
      • Les premières mathématiques grecques : divers chiffres grecs, Thalès, Pythagore et les Pythagoriciens, problèmes de construction difficiles
      • Platon et Aristote : logique, grandeurs, paradoxes de Zénon
      • La loi du levier, approximation de pi, sommes de séries
      • Astronomie avant Ptolémée, Cosmologie et astronomie
      • Trigonométrie ancienne, Histoire de la trigonométrie
      • Ptolémée et le Almageste
      • Mathématiques pratiques, Héron, Ptolémée Géographie
      • Diophante et algèbre grecque, Pappus et analyse
        Voir aussi Aperçu des mathématiques en Chine
    • Symboles numériques, chiffres en bâtonnets, fractions
    • Géométrie : aires et volumes, théorème de Pythagore, triangles similaires
    • Algèbre : équations linéaires simultanées, triangle arithmétique, résolution d'équations polynomiales.
    • Analyse indéterminée et théorème des restes chinois trouvant un
      • Voir aussi Aperçu des mathématiques en Inde
      • Le système de valeur de position hindou-arabe et l'arithmétique
      • Géométrie
      • Équations et analyse indéterminée
      • Combinatoire
      • Trigonométrie, table trigonométrique d'Aryabhata
      • Arithmétique décimale
      • Algèbre : équations du second degré, puissances de l'inconnue, triangle arithmétique, équations cubiques
      • Combinatoire
      • Géométrie : postulat parallèle, trigonométrie
      • Traductions de l'arabe vers le latin aux XIIe et XIIIe siècles
      • Résumé des premières mathématiques en Europe occidentale
      • Combinatoire
      • Les mathématiques de la cinématique : la vitesse, le théorème de Merton, le théorème fondamental du calcul d'Oresme
      • Les mathématiques au tournant du XIVe siècle
      • Mathématiques en Amérique, en Afrique et dans le Pacifique
      • Les abacistes italiens, l'algèbre en France, en Allemagne, en Angleterre et au Portugal
      • La solution de l'équation cubique
      • Développement précoce de l'algèbre symbolique : Viéte et Stevin
      • Perspective, géographie et navigation, astronomie et trigonométrie, logarithmes, cinématique
      • La théorie des équations
      • Géométrie analytique : coordonnées, équations de courbes
      • Probabilité élémentaire
      • La théorie du nombre
      • Géométrie projective
      • Tangentes et extrema, aires et volumes, séries entières, rectification de courbes et théorème fondamental du calcul
      • Isaac Newton, Gottfried Leibniz et les premiers textes de calcul

      Notes de cours, quiz, tests, devoirs

        Mercredi 18 janvier 2017.
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      Revoir

      "Ce livre fascinant présente 121 tablettes d'argile mathématiques inédites de la collection norvégienne Schøyen … . Le livre est divisé en 12 chapitres, 10 annexes, un vocabulaire pour les textes MS, un index des sujets … et une grande liste de références. … De nombreuses images, des dessins et des photos en couleurs des tablettes les plus intéressantes sont également inclus. … ouvre les mathématiques babyloniennes à une nouvelle génération de mathématiciens, d'historiens des sciences et des mathématiques, d'enseignants et d'étudiants. Elle peut donc être recommandée à un large public. (European Mathematical Society Newsletter, juin 2008)

      « Nous nous félicitons du livre en cours d'examen, une étude de la collection Martin Schøyen … . cette collection comprend des exemplaires de pratiquement tous les types connus de tablettes mathématiques, ainsi que certains types de tablettes qui n'ont jamais été publiés. … Le livre de Friberg sera inestimable pour quiconque étudie les mathématiques mésopotamiennes, car il fournit tellement d'autres exemples d'idées mathématiques qui ont été utilisées par les scribes. … Toute bonne bibliothèque dans l'histoire des mathématiques devrait posséder des copies … . » (Victor J. Katz, Revues mathématiques, numéro 2008 h)

      De la couverture arrière

      Ce nouveau texte de Jöran Friberg, le principal expert des mathématiques babyloniennes, présente 130 tablettes d'argile mathématiques inédites de la collection norvégienne Schøyen, et fournit une synthèse des travaux les plus importants de l'auteur. Grâce à une étude approfondie de ces tablettes, Friberg a fait de nombreuses découvertes étonnantes, y compris les premiers exemples connus de labyrinthes et de labyrinthes préclassiques, une nouvelle compréhension du célèbre texte de table Plimpton 322, et de nouvelles preuves de la familiarité babylonienne avec des idées mathématiques sophistiquées et objets, tels que l'équation de Pythagore tridimensionnelle et l'icosaèdre.

      Afin de rendre le texte accessible au plus grand nombre possible, l'auteur a inclus un chapitre d'introduction intitulé « Comment mieux comprendre les textes mathématiques cunéiformes ». Tout au long du texte, il évite les anachronismes et s'efforce d'apprendre au lecteur à faire de même. L'approche de ce livre est intrinsèquement pédagogique, car Friberg illustre toutes les étapes du processus d'interprétation et explique clairement les idées mathématiques, y compris la terminologie, les systèmes métrologiques et les méthodes de calcul. Des dessins et des photos en couleur d'un grand choix de tablettes sont également inclus. Des copies à la main particulièrement belles des textes les plus compliqués ont été réalisées par Farouk Al-Rawi, professeur de langues anciennes et d'archéologie à l'Université de Bagdad.

      Bien que le livre soit facile à lire, il reste aussi détaillé et exhaustif que possible. C'est le traitement le plus complet d'un ensemble de textes mathématiques babyloniens jamais publiés et il ouvrira ce sujet à une nouvelle génération d'étudiants, de mathématiciens et d'historiens des sciences.

      Jöran Friberg est professeur émérite de mathématiques à l'Université de technologie de Chalmers, en Suède. Il a récemment publié le livre Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics (World Scientific 2005), et sa suite Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics (World Scientific 2007).


      Une histoire des notations mathématiques

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      Une remarquable collection de textes mathématiques babyloniens

      Auteurs: Friberg, Joran

      • L'auteur est une autorité de premier plan sur les mathématiques babyloniennes
      • Comprend l'analyse de comprimés qui n'ont jamais été étudiés auparavant
      • Fournit un nouvel aperçu de la compréhension babylonienne des objets mathématiques sophistiqués
      • Plus de 300 figurines, plusieurs en couleurs

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      • ISBN 978-0-387-48977-3
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      Ce nouveau texte de Jöran Friberg, le principal expert des mathématiques babyloniennes, présente 130 tablettes d'argile mathématiques inédites de la collection norvégienne Schøyen, et fournit une synthèse des travaux les plus importants de l'auteur. Grâce à une étude approfondie de ces tablettes, Friberg a fait de nombreuses découvertes étonnantes, y compris les premiers exemples connus de labyrinthes et de labyrinthes préclassiques, une nouvelle compréhension du célèbre texte de table Plimpton 322, et de nouvelles preuves de la familiarité babylonienne avec des idées mathématiques sophistiquées et objets, tels que l'équation de Pythagore tridimensionnelle et l'icosaèdre.

      Afin de rendre le texte accessible au plus grand nombre possible, l'auteur a inclus un chapitre d'introduction intitulé « Comment mieux comprendre les textes mathématiques cunéiformes ». Tout au long du texte, il évite les anachronismes et s'efforce d'apprendre au lecteur à faire de même. L'approche de ce livre est intrinsèquement pédagogique, car Friberg illustre toutes les étapes du processus d'interprétation et explique clairement les idées mathématiques, y compris la terminologie, les systèmes métrologiques et les méthodes de calcul. Des dessins et des photos en couleur d'un grand choix de tablettes sont également inclus. Des copies à la main particulièrement belles des textes les plus compliqués ont été réalisées par Farouk Al-Rawi, professeur de langues anciennes et d'archéologie à l'Université de Bagdad.

      Bien que le livre soit facile à lire, il reste aussi détaillé et exhaustif que possible. C'est le traitement le plus complet d'un ensemble de textes mathématiques babyloniens jamais publiés et il ouvrira ce sujet à une nouvelle génération d'étudiants, de mathématiciens et d'historiens des sciences.

      Jöran Friberg est professeur émérite de mathématiques à l'Université de technologie de Chalmers, en Suède. Il a récemment publié le livre Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics (World Scientific 2005), et sa suite Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics (World Scientific 2007).

      "Ce livre fascinant présente 121 tablettes d'argile mathématiques inédites de la collection norvégienne Schøyen … . Le livre est divisé en 12 chapitres, 10 annexes, un vocabulaire pour les textes MS, un index des sujets … et une grande liste de références. … De nombreuses images, des dessins et des photos en couleur des tablettes les plus intéressantes sont également inclus. … ouvre les mathématiques babyloniennes à une nouvelle génération de mathématiciens, d'historiens des sciences et des mathématiques, d'enseignants et d'étudiants. Elle peut donc être recommandée à un large public. (European Mathematical Society Newsletter, juin 2008)

      « Nous nous félicitons du livre en cours d'examen, une étude de la collection Martin Schøyen … . cette collection comprend des exemplaires de pratiquement tous les types connus de tablettes mathématiques, ainsi que certains types de tablettes qui n'ont jamais été publiés. … Le livre de Friberg sera inestimable pour quiconque étudie les mathématiques mésopotamiennes, car il fournit tellement d'autres exemples d'idées mathématiques qui ont été utilisées par les scribes. … Toute bonne bibliothèque dans l'histoire des mathématiques devrait posséder des copies … . » (Victor J. Katz, Revues mathématiques, numéro 2008 h)


      Un aperçu des mathématiques indiennes

      Il ne fait aucun doute que les mathématiques d'aujourd'hui ont une énorme dette envers les contributions exceptionnelles apportées par les mathématiciens indiens sur plusieurs centaines d'années. Ce qui est assez surprenant, c'est qu'il y a eu une réticence à le reconnaître et il faut conclure que de nombreux historiens des mathématiques célèbres ont trouvé ce qu'ils s'attendaient à trouver, ou peut-être même ce qu'ils espéraient trouver, plutôt que de réaliser ce qui était si clair dans devant eux.

      Nous examinerons les contributions des mathématiques indiennes dans cet article, mais avant d'examiner cette contribution plus en détail, nous devons dire clairement que "l'énorme dette" est le beau système de nombres inventé par les Indiens sur lequel a reposé une grande partie du développement mathématique. Laplace l'a dit avec une grande clarté : -

      Nous examinerons brièvement le développement indien du système décimal de valeur de position des nombres plus loin dans cet article et un peu plus en détail dans l'article séparé sur les chiffres indiens. Mais tout d'abord, nous revenons aux premières preuves du développement des mathématiques en Inde.

      Les histoires des mathématiques indiennes commençaient par décrire la géométrie contenue dans les Sulbasutras, mais la recherche sur l'histoire des mathématiques indiennes a montré que l'essentiel de cette géométrie était plus ancien, étant contenu dans les constructions d'autel décrites dans le texte de la mythologie védique. Shatapatha Brahmana et le Taittiriya Samhita. Il a également été démontré que l'étude de l'astronomie mathématique en Inde remonte au moins au troisième millénaire avant JC et que les mathématiques et la géométrie doivent avoir existé pour soutenir cette étude dans ces temps anciens.

      Les premières mathématiques que nous allons décrire dans cet article se sont développées dans la vallée de l'Indus. La première culture indienne urbaine connue a été identifiée pour la première fois en 1921 à Harappa dans le Pendjab puis, un an plus tard, à Mohenjo-daro, près de la rivière Indus dans le Sindh. Ces deux sites se trouvent maintenant au Pakistan mais cela est toujours couvert par notre terme « mathématiques indiennes » qui, dans cet article, fait référence aux mathématiques développées dans le sous-continent indien. La civilisation de l'Indus (ou civilisation harappéenne comme on l'appelle parfois) était basée dans ces deux villes ainsi que dans plus d'une centaine de petites villes et villages. C'était une civilisation qui a commencé vers 2500 avant JC et a survécu jusqu'à 1700 avant JC ou plus tard. Les gens étaient alphabétisés et utilisaient un script écrit contenant environ 500 caractères que certains ont prétendu avoir déchiffrés mais, étant loin d'être clair que c'est le cas, de nombreuses recherches restent à faire avant d'apprécier pleinement les réalisations mathématiques de cette ancienne civilisation. peut être pleinement évalué.

      Nous pensons souvent aux Égyptiens et aux Babyloniens comme étant l'apogée de la civilisation et des compétences mathématiques autour de la période de la civilisation de l'Indus, pourtant V G Childe dans Une nouvelle lumière sur l'Orient le plus ancien (1952) a écrit : -

      Nous savons que les Harappéens avaient adopté un système uniforme de poids et mesures. Une analyse des poids découverts suggère qu'ils appartiennent à deux séries étant toutes deux de nature décimale avec chaque nombre décimal multiplié et divisé par deux, donnant pour la série principale des ratios de 0 . 05 , 0 . dix . 2 , 0 . 5 , 1 , 2 , 5 , 10 , 20 , 50 , 100 , 200 et 500 . Plusieurs échelles de mesure de longueur ont également été découvertes lors de fouilles. L'un était une échelle décimale basée sur une unité de mesure de 1 . 32 pouces (3,35 centimètres) qui a été appelé le "pouce de l'Indus". Bien sûr, dix unités font alors 13 . 2 pouces, ce qui est tout à fait crédible comme mesure d'un "pied". Une mesure similaire basée sur la longueur d'un pied est présente dans d'autres régions d'Asie et au-delà. Une autre échelle a été découverte lorsqu'une tige de bronze a été trouvée qui a été marquée en longueurs de 0 . 367 pouces. Il est certainement surprenant de la précision avec laquelle ces échelles sont marquées. Maintenant 100 unités de cette mesure font 36 . 7 pouces qui est la mesure d'une foulée. Les mesures des ruines des bâtiments qui ont été fouillées montrent que ces unités de longueur ont été utilisées avec précision par les Harappéens dans la construction.

      On ne sait pas exactement ce qui a causé le déclin de la civilisation harappéenne. Les historiens ont suggéré quatre causes possibles : un changement des régimes climatiques et une crise agricole qui en résulte une catastrophe climatique telle que des inondations ou une grave sécheresse, une maladie propagée par une épidémie ou l'invasion des peuples indo-aryens du nord. La théorie préférée était la dernière des quatre, mais les opinions récentes favorisent l'une des trois premières. Ce qui est certainement vrai, c'est que finalement les peuples indo-aryens du nord se sont répandus dans la région. Cela nous amène au premier enregistrement littéraire de la culture indienne, les Vedas qui ont été composés en sanskrit védique, entre 1500 avant JC et 800 avant JC. Au début, ces textes, composés d'hymnes, de sorts et d'observations rituelles, étaient transmis oralement. Plus tard, les textes sont devenus des œuvres écrites à l'usage de ceux qui pratiquent la religion védique.

      Les mathématiques suivantes d'importance sur le sous-continent indien étaient associées à ces textes religieux. Il se composait des Sulbasutras qui étaient des annexes aux Védas donnant des règles pour la construction des autels. Ils contenaient une bonne quantité de connaissances géométriques, mais les mathématiques étaient développées, non pas pour elles-mêmes, mais purement à des fins religieuses pratiques. Les mathématiques contenues dans ces textes sont étudiées en détail dans l'article séparé sur les Sulbasutras.

      Les principaux Sulbasutras étaient composés de Baudhayana (environ 800 avant JC), Manava (environ 750 avant JC), Apastamba (environ 600 avant JC) et Katyayana (environ 200 avant JC). Ces hommes étaient à la fois des prêtres et des érudits, mais ils n'étaient pas des mathématiciens au sens moderne du terme. Bien que nous n'ayons aucune information sur ces hommes autres que les textes qu'ils ont écrits, nous les avons inclus dans nos biographies de mathématiciens. Il y a un autre érudit, qui n'était pas non plus un mathématicien au sens habituel du terme, qui a vécu à cette époque. C'est Panini qui a obtenu des résultats remarquables dans ses études de grammaire sanskrite. Maintenant, on peut raisonnablement se demander ce que la grammaire sanskrite a à voir avec les mathématiques. Cela a certainement quelque chose à voir avec l'informatique théorique moderne, car un mathématicien ou un informaticien travaillant avec la théorie du langage formel reconnaîtra à quel point certaines des idées de Panini sont modernes.

      Avant la fin de la période des Sulbasoutras, vers le milieu du IIIe siècle av. J.-C., les chiffres brahmi avaient commencé à apparaître.


      Voici un style des chiffres Brahmi:


      Ce sont les premiers chiffres qui, après une multitude de changements, sont finalement devenus les chiffres 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 utilisés aujourd'hui. Le développement des nombres et des systèmes de nombres à valeurs de position est étudié dans l'article Chiffres indiens.

      La religion védique avec ses rites sacrificiels a commencé à décliner et d'autres religions ont commencé à la remplacer. L'un d'eux était le jaïnisme, une religion et une philosophie fondées en Inde vers le 6 e siècle av. Bien que la période après le déclin de la religion védique jusqu'à l'époque d'Aryabhata I, vers 500 après JC, ait été considérée comme une période sombre dans les mathématiques indiennes, elle a récemment été reconnue comme une époque où de nombreuses idées mathématiques étaient considérées. En fait, Aryabhata est maintenant considéré comme résumant les développements mathématiques du Jaina ainsi que le début de la phase suivante.

      Les principaux sujets des mathématiques jaïna vers 150 av. Plus surprenant, les Jaina ont développé une théorie de l'infini contenant différents niveaux d'infini, une compréhension primitive des indices et une certaine notion de logarithmes en base 2 . L'un des problèmes difficiles auxquels sont confrontés les historiens des mathématiques est de décider de la date du manuscrit de Bakhshali. S'il s'agit d'un ouvrage qui date effectivement de 400 après JC, ou en tout cas d'une copie d'un ouvrage qui a été écrit à l'origine à cette époque, alors notre compréhension des réalisations des mathématiques jaïnas sera grandement améliorée. Bien qu'il y ait tant d'incertitudes sur la date, un sujet abordé en détail dans notre article sur le manuscrit de Bakhshali, nous devrions éviter de réécrire l'histoire de la période Jaina à la lumière des mathématiques contenues dans ce document remarquable.

      Vous pouvez voir un article séparé sur Jaïna mathématiques à CE LIEN.

      Si la religion védique a donné lieu à une étude des mathématiques pour la construction d'autels sacrificiels, alors c'est la cosmologie jaïna qui a conduit aux idées d'infini dans les mathématiques jaïna. Les avancées mathématiques ultérieures ont souvent été motivées par l'étude de l'astronomie. Eh bien, il serait peut-être plus exact de dire que l'astrologie a formé la force motrice puisque c'était cette "science" qui exigeait des informations précises sur les planètes et autres corps célestes et encourageait ainsi le développement des mathématiques. La religion a également joué un rôle majeur dans les recherches astronomiques en Inde, car des calendriers précis devaient être préparés pour permettre aux observances religieuses de se dérouler au bon moment. Les mathématiques étaient alors encore une science appliquée en Inde pendant de nombreux siècles, les mathématiciens développant des méthodes pour résoudre des problèmes pratiques.

      Yavanesvara, au IIe siècle de notre ère, a joué un rôle important dans la vulgarisation de l'astrologie en traduisant un texte d'astrologie grecque datant de 120 av. S'il avait fait une traduction littérale, il est douteux qu'elle ait pu intéresser plus que quelques personnes d'esprit académique. Il a cependant popularisé le texte en réinitialisant l'ensemble de l'œuvre dans la culture indienne en utilisant des images hindoues avec le système de castes indien intégré dans son texte.

      Vers 500 après JC, l'ère classique des mathématiques indiennes a commencé avec les travaux d'Aryabhata. Son travail était à la fois un résumé des mathématiques Jaina et le début d'une nouvelle ère pour l'astronomie et les mathématiques. Ses idées d'astronomie étaient vraiment remarquables. Il a remplacé les deux démons Rahu, le Dhruva Rahu qui provoque les phases de la Lune et le Parva Rahu qui provoque une éclipse en recouvrant la Lune ou le Soleil ou leur lumière, par une théorie moderne des éclipses. Il a introduit la trigonométrie afin de faire ses calculs astronomiques, basés sur la théorie grecque de l'épicycle, et il a résolu avec des solutions entières des équations indéterminées qui sont apparues dans les théories astronomiques.

      Aryabhata a dirigé un centre de recherche en mathématiques et en astronomie à Kusumapura, dans le nord-est du sous-continent indien. Là-bas, une école étudiant ses idées a grandi là-bas, mais plus que cela, Aryabhata a établi l'ordre du jour de la recherche mathématique et astronomique en Inde pour de nombreux siècles à venir. Un autre centre mathématique et astronomique se trouvait à Ujjain, également au nord du sous-continent indien, qui s'est développé à peu près à la même époque que Kusumapura. Le plus important des mathématiciens de ce deuxième centre était Varahamihira, qui a également apporté d'importantes contributions à l'astronomie et à la trigonométrie.

      Les idées principales des mathématiques Jaina, en particulier celles relatives à sa cosmologie avec sa passion pour les grands nombres finis et les nombres infinis, ont continué à fleurir avec des érudits tels que Yativrsabha. Il était un contemporain de Varahamihira et de l'Aryabhata légèrement plus âgé. Il convient également de noter que les deux écoles de Kusumapura et d'Ujjain ont été impliquées dans le développement continu des nombres et des systèmes de numération à valeur de position. La prochaine figure d'importance majeure à l'école Ujjain était Brahmagupta vers le début du VIIe siècle après JC et il apportera l'une des contributions les plus importantes au développement des systèmes de nombres avec ses contributions remarquables sur les nombres négatifs et zéro. C'est une pensée qui donne à réfléchir que huit cents ans plus tard, les mathématiques européennes auraient du mal à faire face sans l'utilisation de nombres négatifs et de zéro.

      Ce ne furent certainement pas les seules contributions de Brahmagupta aux mathématiques. Loin de là car il a apporté d'autres contributions majeures à la compréhension des solutions entières aux équations indéterminées et aux formules d'interpolation inventées pour faciliter le calcul des tables de sinus.

      La manière dont les contributions de ces mathématiciens ont été suscitées par une étude des méthodes en astronomie sphérique est décrite dans [ 25 ] :-

      Avant de continuer à décrire les développements à travers la période classique, il convient d'expliquer les mécanismes qui ont permis aux mathématiques de s'épanouir en Inde au cours de ces siècles. Le système éducatif en Inde à cette époque ne permettait pas aux personnes talentueuses ayant la capacité de recevoir une formation en mathématiques ou en astronomie. L'ensemble du système éducatif était plutôt basé sur la famille. Il y avait un certain nombre de familles qui ont fait avancer les traditions de l'astrologie, de l'astronomie et des mathématiques en éduquant chaque nouvelle génération de la famille dans les compétences qui avaient été développées. Notons également que l'astronomie et les mathématiques se sont développées de manière autonome, séparées pour le développement d'autres domaines de connaissance.

      Désormais, une « famille mathématique » aurait une bibliothèque contenant les écrits des générations précédentes. These writings would most likely be commentaries on earlier works such as the Aryabhatiya of Aryabhata. Many of the commentaries would be commentaries on commentaries on commentaries etc. Mathematicians often wrote commentaries on their own work. They would not be aiming to provide texts to be used in educating people outside the family, nor would they be looking for innovative ideas in astronomy. Again religion was the key, for astronomy was considered to be of divine origin and each family would remain faithful to the revelations of the subject as presented by their gods. To seek fundamental changes would be unthinkable for in asking others to accept such changes would be essentially asking them to change religious belief. Nor do these men appear to have made astronomical observations in any systematic way. Some of the texts do claim that the computed data presented in them is in better agreement with observation than that of their predecessors but, despite this, there does not seem to have been a major observational programme set up. Paramesvara in the late fourteenth century appears to be one of the first Indian mathematicians to make systematic observations over many years.

      Mathematics however was in a different position. It was only a tool used for making astronomical calculations. If one could produce innovative mathematical ideas then one could exhibit the truths of astronomy more easily. The mathematics therefore had to lead to the same answers as had been reached before but it was certainly good if it could achieve these more easily or with greater clarity. This meant that despite mathematics only being used as a computational tool for astronomy, the brilliant Indian scholars were encouraged by their culture to put their genius into advances in this topic.

      A contemporary of Brahmagupta who headed the research centre at Ujjain was Bhaskara I who led the Asmaka school. This school would have the study of the works of Aryabhata as their main concern and certainly Bhaskara was commentator on the mathematics of Aryabhata. More than 100 years after Bhaskara lived the astronomer Lalla, another commentator on Aryabhata.

      The ninth century saw mathematical progress with scholars such as Govindasvami, Mahavira, Prthudakasvami, Sankara, and Sridhara. Some of these such as Govindasvami and Sankara were commentators on the text of Bhaskara I while Mahavira was famed for his updating of Brahmagupta's book. This period saw developments in sine tables, solving equations, algebraic notation, quadratics, indeterminate equations, and improvements to the number systems. The agenda was still basically that set by Aryabhata and the topics being developed those in his work.

      The main mathematicians of the tenth century in India were Aryabhata II and Vijayanandi, both adding to the understanding of sine tables and trigonometry to support their astronomical calculations. In the eleventh century Sripati and Brahmadeva were major figures but perhaps the most outstanding of all was Bhaskara II in the twelfth century. He worked on algebra, number systems, and astronomy. He wrote beautiful texts illustrated with mathematical problems, some of which we present in his biography, and he provided the best summary of the mathematics and astronomy of the classical period.

      Bhaskara II may be considered the high point of Indian mathematics but at one time this was all that was known [ 26 ] :-

      Following Bhaskara II there was over 200 years before any other major contributions to mathematics were made on the Indian subcontinent. In fact for a long time it was thought that Bhaskara II represented the end of mathematical developments in the Indian subcontinent until modern times. However in the second half of the fourteenth century Mahendra Suri wrote the first Indian treatise on the astrolabe and Narayana wrote an important commentary on Bhaskara II, making important contributions to algebra and magic squares. The most remarkable contribution from this period, however, was by Madhava who invented Taylor series and rigorous mathematical analysis in some inspired contributions. Madhava was from Kerala and his work there inspired a school of followers such as Nilakantha and Jyesthadeva.

      Some of the remarkable discoveries of the Kerala mathematicians are described in [ 26 ] . These include: a formula for the ecliptic the Newton-Gauss interpolation formula the formula for the sum of an infinite series Lhuilier's formula for the circumradius of a cyclic quadrilateral. Of particular interest is the approximation to the value of π pi π which was the first to be made using a series. Madhava's result which gave a series for π pi π , translated into the language of modern mathematics, reads

      This formula, as well as several others referred to above, were rediscovered by European mathematicians several centuries later. Madhava also gave other formulae for π pi π , one of which leads to the approximation 3 . 14159265359 .

      The first person in modern times to realise that the mathematicians of Kerala had anticipated some of the results of the Europeans on the calculus by nearly 300 years was Charles Whish in 1835 . Whish's publication in the Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland was essentially unnoticed by historians of mathematics. Only 100 years later in the 1940 s did historians of mathematics look in detail at the works of Kerala's mathematicians and find that the remarkable claims made by Whish were essentially true. See for example [ 15 ] . Indeed the Kerala mathematicians had, as Whish wrote:-

      For each case, Citrabhanu gave an explanation and justification of his rule as well as an example. Some of his explanations are algebraic, while others are geometric. See [ 12 ] for more details.

      Now we have presented the latter part of the history of Indian mathematics in an unlikely way. That there would be essentially no progress between the contributions of Bhaskara II and the innovations of Madhava, who was far more innovative than any other Indian mathematician producing a totally new perspective on mathematics, seems unlikely. Much more likely is that we are unaware of the contributions made over this 200 year period which must have provided the foundations on which Madhava built his theories.

      Our understanding of the contributions of Indian mathematicians has changed markedly over the last few decades. Much more work needs to be done to further our understanding of the contributions of mathematicians whose work has sadly been lost, or perhaps even worse, been ignored. Indeed work is now being undertaken and we should soon have a better understanding of this important part of the history of mathematics.


      An overview of Babylonian mathematics

      The Babylonians lived in Mesopotamia, a fertile plain between the Tigris and Euphrates rivers.



      Voici une map of the region where the civilisation flourished.


      The region had been the centre of the Sumerian civilisation which flourished before 3500 BC. This was an advanced civilisation building cities and supporting the people with irrigation systems, a legal system, administration, and even a postal service. Writing developed and counting was based on a sexagesimal system, that is to say base 60 . Around 2300 BC the Akkadians invaded the area and for some time the more backward culture of the Akkadians mixed with the more advanced culture of the Sumerians. The Akkadians invented the abacus as a tool for counting and they developed somewhat clumsy methods of arithmetic with addition, subtraction, multiplication and division all playing a part. The Sumerians, however, revolted against Akkadian rule and by 2100 BC they were back in control.

      However the Babylonian civilisation, whose mathematics is the subject of this article, replaced that of the Sumerians from around 2000 BC The Babylonians were a Semitic people who invaded Mesopotamia defeating the Sumerians and by about 1900 BC establishing their capital at Babylon.

      The Sumerians had developed an abstract form of writing based on cuneiform ( i.e. wedge-shaped ) symbols. Their symbols were written on wet clay tablets which were baked in the hot sun and many thousands of these tablets have survived to this day. It was the use of a stylus on a clay medium that led to the use of cuneiform symbols since curved lines could not be drawn. The later Babylonians adopted the same style of cuneiform writing on clay tablets.


      Here is one of their tablets


      Many of the tablets concern topics which, although not containing deep mathematics, nevertheless are fascinating. For example we mentioned above the irrigation systems of the early civilisations in Mesopotamia. These are discussed in [ 40 ] where Muroi writes:-

      It was an important task for the rulers of Mesopotamia to dig canals and to maintain them, because canals were not only necessary for irrigation but also useful for the transport of goods and armies. The rulers or high government officials must have ordered Babylonian mathematicians to calculate the number of workers and days necessary for the building of a canal, and to calculate the total expenses of wages of the workers.

      There are several Old Babylonian mathematical texts in which various quantities concerning the digging of a canal are asked for. They are YBC 4666 , 7164 , and VAT 7528 , all of which are written in Sumerian . and YBC 9874 and BM 85196 , No. 15 , which are written in Akkadian . . From the mathematical point of view these problems are comparatively simple .

      The Babylonians had an advanced number system, in some ways more advanced than our present systems. It was a positional system with a base of 60 rather than the system with base 10 in widespread use today. For more details of the Babylonian numerals, and also a discussion as to the theories why they used base 60 , see our article on Babylonian numerals.

      The Babylonians divided the day into 24 hours, each hour into 60 minutes, each minute into 60 seconds. This form of counting has survived for 4000 years. To write 5 h 25 ' 30 ", i.e. 5 hours, 25 minutes, 30 seconds, is just to write the sexagesimal fraction, 5 25 60 30 3600 5 largefrac<25><60> ormalsize largefrac<30><3600> ormalsize 5 6 0 2 5 ​ 3 6 0 0 3 0 ​ . We adopt the notation 5 25 , 30 for this sexagesimal number, for more details regarding this notation see our article on Babylonian numerals. As a base 10 fraction the sexagesimal number 5 25 , 30 is 5 4 10 2 100 5 1000 5 largefrac<4><10> ormalsize largefrac<2><100> ormalsize largefrac<5><1000> ormalsize 5 1 0 4 ​ 1 0 0 2 ​ 1 0 0 0 5 ​ which is written as 5 . 425 in decimal notation.

      Perhaps the most amazing aspect of the Babylonian's calculating skills was their construction of tables to aid calculation. Two tablets found at Senkerah on the Euphrates in 1854 date from 2000 BC. They give squares of the numbers up to 59 and cubes of the numbers up to 32 . The table gives 8 2 = 1 , 4 8^ <2>= 1,4 8 2 = 1 , 4 which stands for

      The Babylonians used the formula

      which shows that a table of squares is all that is necessary to multiply numbers, simply taking the difference of the two squares that were looked up in the table then taking a quarter of the answer.

      Division is a harder process. The Babylonians did not have an algorithm for long division. Instead they based their method on the fact that

      Babylonian mathematics went far beyond arithmetical calculations. In our article on Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics we examine some of their geometrical ideas and also some basic ideas in number theory. In this article we now examine some algebra which the Babylonians developed, particularly problems which led to equations and their solution.

      We noted above that the Babylonians were famed as constructors of tables. Now these could be used to solve equations. For example they constructed tables for n 3 + n 2 n^ <3>+ n^ <2>n 3 + n 2 then, with the aid of these tables, certain cubic equations could be solved. For example, consider the equation

      It is not that easy to understand these calculations by the scribe unless we translate them into modern algebraic notation. We have to solve

      To solve a quadratic equation the Babylonians essentially used the standard formula. They considered two types of quadratic equation, namely

      Notice that in each case this is the positive root from the two roots of the quadratic and the one which will make sense in solving "real" problems. For example problems which led the Babylonians to equations of this type often concerned the area of a rectangle. For example if the area is given and the amount by which the length exceeds the breadth is given, then the breadth satisfies a quadratic equation and then they would apply the first version of the formula above.

      A problem on a tablet from Old Babylonian times states that the area of a rectangle is 1 , 0 and its length exceeds its breadth by 7 . L'équation

      In [ 10 ] Berriman gives 13 typical examples of problems leading to quadratic equations taken from Old Babylonian tablets.

      If problems involving the area of rectangles lead to quadratic equations, then problems involving the volume of rectangular excavation ( a "cellar" ) lead to cubic equations. The clay tablet BM 85200 + containing 36 problems of this type, is the earliest known attempt to set up and solve cubic equations. Hoyrup discusses this fascinating tablet in [ 26 ] . Of course the Babylonians did not reach a general formula for solving cubics. This would not be found for well over three thousand years.


      History of Mathematical Sciences

      This book explores the interaction between Europe and East Asia between the 16th and the 18th centuries in the field of mathematical sciences, bringing to the fore the role of Portugal as an agent of transmission of European science to East Asia. It is an important contribution to understanding this fundamental period of scientific history, beginning with the arrival of Vasco da Gama in India in 1498 and ending with the expulsion of the Society of Jesus from Portugal in 1759. The former event opened a new era in relations between Europe and Asia, in particular regarding the circulation of scientific knowledge, leading to major social and intellectual changes in both continents. The Society of Jesus controlled education in Portugal and in the Empire. It was central to the network of knowledge transmission until the Society was expelled from Portugal in 1759.

      The proceedings have been selected for coverage in:

      • Index to Social Sciences & Humanities Proceedings® (ISSHP® / ISI Proceedings)

      • Index to Social Sciences & Humanities Proceedings (ISSHP CDROM version / ISI Proceedings)


      The simple protractor is an ancient device. As an instrument used to construct and measure plane angles, the simple protractor looks like a semicircular disk marked with degrees, beginning with 0º to 180º.

      The first complex protractor was created for plotting the position of a boat on navigational charts. Called a three-arm protractor or station pointer, it was invented in 1801 by Joseph Huddart, a U.S. naval captain. The center arm is fixed, while the outer two are rotatable and capable of being set at any angle relative to the center one.


      Voir la vidéo: On this day by David Pomeranz with lyrics